Sıralamalar

Bulunduğunuz Sayfa: Anasayfa

Bilim

Matematik

Sıralamalar

Sıralamalar

Pazar, 24 Eylül 2006

Bir küme ve o küme üzerinde aşağıda tarif edilecek olan ikili bir ilişki içeren aksiyomatik sistemlere denir. Bilinen sıralama $\leq$ ilişkisinin soyutlanmasıyla elde edilirler. Kümemize X, ilişkimize R adını verecek olursak, aşağıdaki aksiyomların sağlandığını varsayarız.

X kümesinin her a elemanı için R(a,a) ilişkisi sağlanmalıdır. ( $a\leq b$ şeklinde düşünülebilir, yansıma özelliği olarak bilinir.)

X kümesinin herhangi iki a ve b elemanı için R(a,b) ve R(b,a) ilişkileri sağlanıyorsa, a = b olamlıdır. (hem $a\leq b$ hem de $b\leq a$ sağlanıyorsa a=b dir diye düşünülebilir, antisimetrik olma özelliği olarak bilinir.)

X kümesinin herhangi üç a, b, ve c elemanı için hem R(a,b) hem de R(b,c) ilişkileri ağlanıyorsa, o zaman R(a,c) ilişkisi de sağlanmalıdır. (hem $a\leq b$ $b\leq c$ ise $a\leq c$ de olmalıdır diye de düşünülebilir, geçişkenlik özelliği olarak bilinir) hem de

Sıralamalara Örnekler

(Doğal Sayılar, $\leq$ ilişkisi) -- (Rasyonel Sayılar, $\leq$ ilişkisi) -- (Reel Sayılar, $\leq$ ilişkisi) -- (Kümeler Uzayı*, $\subset$ ilişkisi)

* Teknik olarak bir küme değildir ancak bu sorun yaratmaz.

Sıralama Çeşitleri

Eğer elimizdeki sıralama nesnesi, yukardaki aksiyomlara ek başka varsayımlar sağlamıyorsa elimizdeki sıralamaya "kısmi sıralama" denir. Yani her sıralama bir kısmi sıralamadır.

Eğer yukardaki aksiyomlara ek olarak X ten seçeceğimiz herhangi iki elemanı karşılaştırabiliyorsak (yani R(a,b) ve R(b,a) ilişkilerinden biri mutlaka doğru olmak zorundaysa) o zaman elimizdeki sıralamaya doğrusal sıralama denir. Yukardaki örneklerden (Doğal Sayılar, $\leq$ ), (Rasyonel Sayılar, $\leq$ ) ve (Reel Sayılar, $\leq$ ) aynı zamanda doğrusal sıralamalara da örneklerken, (Kümeler Uzayı, $\subset$ ilişkisi), doğrusal olmayan kısmi bir sıralamadır. Nedeni herhangi iki kümeyi $\subset$ ilişkisine göre karşılaştırmanın mümkün olmamasıdır. Yani biri diğerini içermeyen iki kümenin varlığıdır.

Son olarak, doğrusal sıralama şartlarını sağlayan (X, R) sırlamalarından, "X in her alt kümesinin bir en küçük eleman içermesi şartı"nı sağlayanlara iyi-sıralama denir. Yukardaki örneklerden reel sayılar ve doğal sayılar iyi-sıralamalarken, rasyonel sayılar iyi sıralama değildir. Örnek olarak "karekök ikiden büyük rasyonel sayılar" kümesinin en küçük bir elemanı olmaması verilebilir.

Sıralamaların Önemi

Her sıralama nesnesi bir topolojik uzay yapısına sahiptir. Bu yapının açık kümelerinin temeli "öyle x elemanları ki $a\leq x\leq b$ " şeklinde ifade edilebilen kümelerden oluşur, a veya b az önceki formülde gözükmüyor da olabilirler.

Zorn'un Lemması, sayesinde kısmi sıralamalar matematiğin pek çok alanında uygulama bulmuşlardır. Mesela halka'larda maksimal ideallerin varlığı Zorn'un Lemması ve ideallarin $\subset$ ilişkisine göre kısmi bir sıralama oluşturduğu gerçeği kullanılarak ispatlanır.

Reel Sayılar Kümesi'nin Rasyonel Sayılar Kümesi'ni kullanılarak oluşturulmasının bir temeli de Alman matematikçi Richard Dedekind tarafından verilmiştir. Dedekind'in yöntemi Rasyonel Sayılar Kümesi'nin bir iyi-sıralama haline getirilmesine dayanır. Diğer yöntem ise "bütünleme"dir.

İyi sıralamar matematikte nispeten nadir gözlenen, çok güçlü özellikler içeren objelerdir. Bu ilke ve kümeler teorisi arasındaki ilişki hakkında bilgi için ayrica İyi-sıralılık ilkesi Makalesi'ne bakabilirsiniz.

Son Yenileme ( Pazartesi, 16 Temmuz 2007 )