Runge-Kutta Yöntemleri

Bulunduğunuz Sayfa: Anasayfa

Bilim

Matematik

Runge-Kutta Yöntemleri

Salı, 26 Eylül 2006

Sayısal analizde Runge-Kutta yöntemleri, adi diferansiyel denklemlerin çözüm yaklaşımıları için kapalı ve açık yinelemeli yöntemler ailesinin önemli bir tipidir. Bu yöntem 1900'lü yllarda C. Runge ve M.W. Kutta adlı matemetikçiler tarafından geliştirilmiştir.

4. dereceden klasik Runge-Kutta Yöntemi:

"RK4" veya "Runge-Kutta yöntemi" olarak adlandırılan Runge-Kutta yöntemleri ailesinin bu üyesi sıkça kullanılır.

Aşağıdaki gibi tanımlanan bir başlanğıç değer problemini ele alalım.

$y'=f(t,y),\qquad y(t_0)=y_0$

ve bu problem için RK4 yöntemi aşağıdaki denklemlerle verilir.

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

Burada

k1 = f(tn,yn)

$k_2=f\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2} \right)$

$k_3=f\left(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2} \right)$

$k_4=f\left(t_n+h,y_n+k_3 \right)$

Böylece bir sonraki yn + 1 değeri o anki yn değerine h aralığının büyüklüğüyle tahmini eğimin çarpımının eklenmesiyle elde edilir. Bu eğim, eğimlerin ağırlıklı ortalamasıdır:

k1 aralığın başlanğıcındaki eğimdir.
k2 aralığın orta noktasındaki eğimdir. Bu k2 eğimi, Euler Yöntemi kullanılarak y'nin tn+h/2 noktasındaki değerinden elde edilir.
k3 yine orta noktadaki eğimdir. Ama bu sefer y değeri k2 eğiminden elde edilir.
k4 aralığın sonundaki eğimdir ve y değeri k3 eğimi kullanılar bulunur.

Son Yenileme ( Cumartesi, 30 Haziran 2007 )