Legendre denklemi

Bulunduğunuz Sayfa: Anasayfa

Bilim

Matematik

Legendre denklemi

Legendre denklemi

Pazar, 24 Eylül 2006

Legendre diferansiyel denklemi [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.

$Ly = 0\,$

Burada L, Legendre operatörüdür.

$L = {d \over dx }(1 - x^2){d \over dx }+l(l+1)\,$ ; $l \in (0,\mathbb{Z}^+)$

Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.

$y= \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$
$y' = \sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}$
$y'' = \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}$

ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,

$Ly\,$	$= \big(1-x^2)y'' -2xy'+l(l+1)y$
	$=(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2} - 2x\sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1} + l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$
	$=\sum_{n=0}^{\infty}\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right] a_n x^n + \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}$
	$=\sum_{n=0}^{\infty}\left[l^2-n^2+l-n\right]a_n x^n + \sum_{n=-2}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^n$
	$=\sum_{n=0}^{\infty}\left[(l+n+1)(l-n)a_n + (n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^n$
	$=0\,$

Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:

$a_2 = -{l(l+1) \over 2} a_0$

olur. Genellenirse

$a_{n+2} = -{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_n$

Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için

$\lim_{n \to \infty}\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_nx^n}\right|<1$

şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak

$n =-l \mbox { veya } n = -(l+1)\,$

şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre Polinomları denir, dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.

Son Yenileme ( Cumartesi, 14 Temmuz 2007 )