Beklenen değer

Bulunduğunuz Sayfa: Anasayfa

Bilim

Matematik

Beklenen değer

Beklenen değer

Pazar, 24 Eylül 2006

Beklenen değer bir raslantı değişkeninin alabileceği bütün değerlerin, olasılıklarıyla çarpılması ve bu işlemin bütün değerler üzerinden toplanmasıyla elde edilen değerdir. Ağırlıklı ortalama olarak da düşünülebilir ki ağırlık katsayıları verilen olasılık yoğunluk veya olasılık fonksiyonlarıdır.

Tanım

Beklenen değer, beklenen değer operatörü E ile gösterilir. Raslantı değişkeninin sürekli veya kesikli olması durumuna göre beklenen değer şu şekilde hesaplanır.

$E[\Chi] = \begin{cases} \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx, & \Chi: \mbox{ surekli} \\ \sum_i x_i p(x_i), & \Chi: \mbox{ ayrik} \end{cases}$

Beklenen değerin başka gösterimleri mΧ, μ1 (μ merkezi moment) ve E(Χ) olarak verilir. Yukarıdaki tanımda f(x) olasılık yoğunluk fonksiyonudur, p(x) ise olasılık fonksiyonu olarak adlandırılır. E operatörü lineer bir operatördür. İki fonksiyon da normalize oldukları için sabit bir değerin beklenen değeri kendisine eşittir.

Özellikler

$E[k]=k: k\in\mathbb{R}$
$E[a\Chi+b]=am_{\Chi} + b: a,b\in\mathbb{R}$

İspat

$E[a\Chi+b]\,$	$=\int_{-\infty}^{\infty}(ax+b)f(x)dx$
	$=a\left(\begin{matrix}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}xf(x)dx} \\ E[\Chi] \end{matrix}\right) + b\left(\begin{matrix}\underbrace{\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx} \\ 1 \end{matrix}\right)$
	$=am_{\Chi} + b\,$